Expansión isotérmica



Una expansión isotérmica es un proceso en el cual una gas se expande (o contrae), manteniendo la temperatura constante durante dicho proceso, es decir que T1 = T2 para los estados inicial (1) y final (2) del proceso isotérmico. Aplicando el primer principio de la termodinámica se obtiene:

dQ = dU + dW


Entonces integrando la expresión anterior, tomando como estado inicial el estado 1 y estado final el estado 2, se obtiene:


\int_{1}^{2} \, dQ = 	\int_{1}^{2} \, dU + 	\int_{1}^{2} \, dW ..........(1)


Por la definición de trabajo dada en mecánica se tiene que:

dW = \vec F\;\cdot\;d\vec r\;

Pero la fuerza \vec F\; se puede expresar en función de la presión que se ejerce el gas, y el desplazamiento d\vec r\; se puede escribir como dx, entonces:

dW = \vec F\;\cdot\;d\vec r\; = PAdx

Pero Adx equivale a dV, el aumento en el volumen del gas durante esta pequeña expansión, entonces el trabajo efectuado por el gas sobre los alrededores como resultado de la expansión es:

dW = PAdx = PdV ..........(2)

Ahora reemplazando (1) en (2) se puede integrar:

\int_{1}^{2} \, dQ = 	\int_{1}^{2} \, dU + 	\int_{1}^{2} \, PdV ..........(3)

Pero para integrar la tercera integral, es necesario conocer la forma de variación de la presión P con el volumen, durante el proceso tratado. En este caso, la relación buscada se obtiene directamente de la ecuación de estado de los gases ideales:

PV = nRT \Longrightarrow \; P = \frac{nRT}{V} ..........(4)

Por lo tanto reemplazando (4) en (3) se tiene que:

\int_{1}^{2} \, dQ = 	\int_{1}^{2} \, dU + 	\int_{1}^{2} \, \frac{nRT}{V}dV

Como los valores n y R son constantes para cada gas ideal, y en este caso la temperatura también es constante, éstas pueden salir fuera de la integral obteniéndose:

\int_{1}^{2} \, dQ = 	\int_{1}^{2} \, dU + 	nRT\int_{1}^{2} \, \frac{dV}{V}

Ahora integrando:

[Q]_1^2 = [U]_1^2 + nRT[\ln V]_1^2
\Longrightarrow \; Q_2 - Q_1 = U_2 - U_1 + nRT(\ln V_2 - \ln V_1)
\Longrightarrow \; Q_2 - Q_1 = U_2 - U_1 + nRT\ln \left (\frac{V_2}{V_1} \right ) ..........(5)

Pero se sabe que la energía interna depende sólo de la temperatura (Ver: La energía interna como función de la temperatura), y como en este proceso ésta se mantiene constante, no hay cambio en la energía interna del gas, por lo que la expresión (5) se reduce a:

Q_2 - Q_1 = U_1 - U_1  + nRT\ln \left (\frac{V_2}{V_1} \right )
\Longrightarrow \;Q_2 - Q_1 = nRT\ln \left (\frac{V_2}{V_1} \right )
\Longrightarrow \;\Delta\;Q = \Delta\;W = nRT\ln \left (\frac{V_2}{V_1} \right )

Por lo tanto, en una expansión isotérmica, el calor de entrada es igual al trabajo efectuado por el gas.

Véase también

 
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