Operador unitario

Un operador unitario definido sobre un espacio de Hilbert es un operador lineal que cumple:

$A^\dagger A = A A^\dagger = I \,\!$

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Valores propios

Como consecuencia de su definición, los valores propios de un operador unitario son fases, es decir, números complejos de módulo unidad.

Demostración

Sea $| a \rangle \,\!$ un vector propio de A con valor propio $\lambda \,\!$ . Consideremos que hemos construido una base ortonormal de forma que $\langle a_i | a_j \rangle = \delta _{i,j}\,\!$ . Entonces tenemos que:

$\langle a | a \rangle = 1\,\!$ ; podemos introducir la identidad $A^\dagger A = I \,\!$

$\langle a | A^\dagger A a \rangle = 1\,\!$ ; pasamos al bra el operador de la izquierda complejo-conjugado

$\langle A a | A a \rangle = 1\,\!$ ; aplicamos que $A |a \rangle = \lambda |a \rangle\,\!$

$\langle \lambda a | \lambda a \rangle = 1\,\!$ ; sacamos los valores propios teniendo en cuenta que el de la izquierda sale complejo-conjugado

$\lambda ^* \lambda \langle a | a \rangle = 1\,\!$ ; como son ortonormales $\langle a | a \rangle = 1\,\!$

Entonces $| \lambda |^2 = 1\,\!$ ; el modulo cuadrado del valor propio es la unidad por tanto $| \lambda | = \pm 1\,\!$

De donde deducimos que el valor propio debe ser una fase: $\lambda = e^{i \phi} \,\!$

Implicaciones en la mecánica cuántica

La aplicación en la mecánica cuántica que debe a que ciertos operadores, como el operador de evolución temporal, se les exige que al aplicarlos sobre un estado dejen invariante la probabilidad. Esto es posible debido a que estos operadores son unitarios. Veamoslo:

Sea $| \psi (0) \rangle$ el estado inicial de un cierto sistema cuántico. El estado evolucionado en un tiempo t vendra dado por la actuación del operador de evolución temporal $U(t)= e^{-\mathrm{i}Ht / \hbar}$ de forma que $| \psi (t) \rangle = U(t) | \psi (0) \rangle$ . Como $U(t)\,\!$ es un operador unitario se cumple que $U(t)^\dagger U(t) = U(t) U(t)^\dagger = I$ . Entonces:

$\langle \psi (t) | \psi (t) \rangle = \langle U(t) \psi (0) | U(t) \psi (0) \rangle = \langle \psi (0) | U(t)^\dagger U(t) \psi (0) \rangle = \langle \psi (0) | \psi (0) \rangle$

Categoría: Mecánica cuántica

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