Potencial de Lennard-Jones




Un par de átomos o moléculas neutros estan sujetos a dos fuerzas distintas en el limite de una gran separación y de una pequeña separación: una fuerza atractiva actúa a grandes distancias (fuerza de Van Der Waals, o fuerza de dispersión) y una fuerza repulsiva actuando a pequeñas distancias (el resultado de la sobreposición de los orbitales electrónicos, conocido como la repulsión de Pauli, del Principio de exclusión de Pauli). El Potencial de Lennard-Jones (También conocido como el potencial L-J, el potencial 6-12 o, con menor frecuencia, como el potencial 12-6) es un modelo matemático sencillo para representar este comportamiento. Fue propuesto en 1924 por John Lennard-Jones.[1]  

Conocimientos adicionales recomendados


EL potencial L-J es de la forma

V(r) = 4\epsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right]

donde \, \epsilon es la profundidad del potencial, \, \sigma es la distancia (finita) en la que el potencial entre partículas es cero y r es la distancia entre partículas.

Estos parámetros pueden ser ajustados para rerpoducir datos experimentales o pueden ser deducidos de resultados muy precisos de cálculos de quimica cuantica. El término \left(\frac{1}{r}\right)^{12} describe la repulsión y el termino \left(\frac{1}{r}\right)^{6} describe la atracción. La función que describe la fuerza a la que estan sujetas las partículas es el negativo del gradiente del potencial arriba descrito

\mathbf{F}(r) = - \nabla V(r) = - \frac{d}{dr} V(r) \hat{\mathbf{r}} = 4 \epsilon \left( 12\,{\frac {{\sigma}^{12}}{{r}^{13}}}-6\,{\frac{{\sigma}^{6}}{{r}^{7}}} \right) \hat{\mathbf{r}}


El potencial de Lennard-Jones es una aproximación. La forma del término que describe la repulsión no tiene ninguna justificación teórica; la fuerza repulsiva debe depender exponencialmente de la distancia, pero el termino de la formula de L-J es mas conveniente debido a la facilidad y eficiencia de calcular r12 como el cuadrado de r6. Su origen físico esta relacionado al principio de exclusión de Pauli: cuando dos nubes electrónicas circulando los átomos se empiezan a sobreponer, la energía del sistema aumenta abruptamente. El exponente 12 fue elegido exclusivamente por su facilidad de calculo.

Formas alternativas

La función del potencial de Lennard-Jones comúnmente se escribe de la siguiente forma:

V(r) = \epsilon \left[ \left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{6} \right]

donde

\, r_{min} = \, 2^{1/6}\sigma es la distancia en la que el potencial se encuentra en un mínimo.

La formulación más sencilla, usada comúnmente por software de simulación, es:

V(r) = \frac{A}{r^{12}} - \frac{B}{r^6}

donde

\, A = 4 \epsilon \sigma^{12}

\, B = 4 \epsilon \sigma^6

\sigma = \left( \frac{A}{B} \right)^{ \frac{1}{6} }

y

\epsilon = \frac{B^2}{4 A}.

Simulación de Dinámica Molecular: Potencial truncado

En general, para ahorrar tiempo computacional, el potencial de Lennard-Jones es truncado en la distancia límite de \displaystyle r_c = 2.5 \sigma donde

\displaystyle     V ( r_c )    =    V ( 2.5 \sigma )    =    4 \epsilon    \left[       \left(          \frac 	 {\sigma} 	 {2.5 \sigma}       \right)^{12}       -       \left(          \frac 	 {\sigma} 	 {2.5 \sigma}       \right)^6    \right]    =    -0.0163 \epsilon    =    -    \frac    {1}    {61.3}    \epsilon

(1)

i.e., en \displaystyle r_c = 2.5 \sigma, el potencial LJ \displaystyle V es aproximadamente 1/60 de su valor mínimo \displaystyle \epsilon (profundidad del potencial). Después de \displaystyle r_c, se le asigna el valor 0 al potencial computacional.

Por otro lado, para evitar una discontinuidad en \displaystyle r_c, como se muestra en la ecuación 1, el potencial de LJ es desplazado ligeramente hacia arriba, de tal forma que el potencial computacional sea 0 exactamente en la distancia límite \displaystyle r_c.

Referencias

  1. Lennard-Jones, J. E. Cohesion. Proceedings of the Physical Society 1931, 43, 461-482.
 
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