Matrices de Pauli



Las matrices de Pauli, deben su nombre a Wolfgang Ernst Pauli, y constituyen una base vectorial de la representación bimensional del álgebra de Lie del grupo especial unitario SU(2).

Conocimientos adicionales recomendados

Forma de las matrices

Las matrices de Pauli son tres, al igual que la dimensión del álgebra del Lie del grupo SU(2), y tienen la siguiente forma:

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Cumplen las reglas de conmutación del álgebra de Lie \mathfrak{su}(2):

\left [\sigma_i,\sigma_j \right ]=2i\ \epsilon_{ijk}\ \sigma_k

Donde:

\epsilon_{ijk}\; es el Símbolo de Levi-Civita (tensor totalmente antisimétrico).

También satisfacen la siguiente regla de anticonmutación

\left \{\sigma_i,\sigma_j \right \}=\sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=2\delta_{ij}I\

Otras propiedades importantes son:

\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I
\operatorname{det} (\sigma_i) = -1
\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0

Aplicaciones

Las matrices de Pauli tienen gran utilidad en mecánica cuántica. La aplicación más conocida es la representación del operador de espín para una partícula de espín 1/2, como un electrón, un neutrón o un protón. Así el observable que sirve para medir al espín, o momento angular intrínseco, de un electrón, en la dirección i, viene dado por el operador autoadjunto:

\hat{S}_i = \frac{\hbar}{2}\sigma_i
 
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