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Teleportación_cuántica

Teleportación cuántica

La teleportación cuántica es una técnica que transfiere un estado cuántico a una localización arbitrariamente alejada usando un estado de entrelazamiento cuántico distribuido y la transmisión de cierta información clásica. La teleportación cuántica no transporta energía o materia, ni permite la comunicación de información a la velocidad superior a la de la luz, pero es útil en comunicación y computación cuánticas.

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Realización

A continuación se presenta un experimento realizado en el CERN a través de qubits y computación cuántica:

El objetivo de esta técnica es transmitir un qubit entre Alice (emisor) y Bob (receptor) mediante el envío de dos bits clásicos. Previamente, Alice y Bob deberán compartir un estado entrelazado (entangled).

Los pasos a seguir por Alice y Bob son los siguientes:

Alice y Bob preparan un estado entrelazado como el que sigue: $\beta_{00} = \frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})$ .
Alice y Bob se separan. Alice se queda con el primer qubit del par entrelazado y Bob se lleva el segundo.
Alice desea ahora transmitir el qubit $|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta|1\rangle$ a Bob. Alice operará sobre dos qubits: el primero es el qubit que quiere transmitir y el segundo es el primer qubit del par entrelazado, que ella tiene en su poder.
Alice primero aplica la compuerta cuántica CNOT a sus dos qubits.
Alice aplica la compuerta cuántica Hadamard al primero de sus dos qubits.
Alice realiza una medición sobre ambos qubits y obtiene los dos bits clásicos $b 1 b 2$ , que envía a Bob por un canal de comunicación clásico.
Bob aplica la transformación $Z^{b_1}X^{b_2}$ sobre su qubit, de acuerdo a los bits recibidos $b 1 b 2$ donde $X$ es la matriz de Pauli $σ x$ y $Z$ la matriz de Pauli $σ z$ . El resultado obtenido por Bob en su qubit será $|\psi\rangle$ .

Formulación

El esquema completo de la teleportación cuántica se muestra en la figura de la derecha, donde ${\left\vert{\psi}\right\rangle}$ es el qubit a teleportar y $β 00$ es el estado entrelazado auxiliar.

Veamos, la entrada al circuito es:

${\left\vert{\psi}\right\rangle}=\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}+\beta{\left\vert{1}\right\rangle}$

$\beta_{00} = \frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})$

que puede escribirse:

${\left\vert{\psi}\right\rangle} \otimes \beta_{00} =(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}+\beta{\left\vert{1}\right\rangle})\left(\frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})\right)$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})+\beta{\left\vert{1}\right\rangle}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})\right)$

Esta entrada pasa a través de una puerta CNOT, cuya función es:

con lo que en nuestro circuito obtenemos:

${\;{{CNOT(1,2)} \atop \longrightarrow}\;} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})+\beta{\left\vert{1}\right\rangle}({\left\vert{10}\right\rangle}+{\left\vert{01}\right\rangle})\right)$

A continuación atraviesa la puerta de Hadamard (bloque H en la figura), cuya función es

$\textstyle |0\rangle\rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),~|1\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$ ,

con lo cual en la figura obtenemos:

${\;{{H(1)} \atop \longrightarrow}\;} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha\frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{0}\right\rangle}+{\left\vert{1}\right\rangle})({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})+\beta\frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{0}\right\rangle}-{\left\vert{1}\right\rangle})({\left\vert{10}\right\rangle}+{\left\vert{01}\right\rangle})\right)$

$=\frac{1}{2}\left({\left\vert{00}\right\rangle}(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}+\beta{\left\vert{1}\right\rangle}) +{\left\vert{01}\right\rangle}(\alpha{\left\vert{1}\right\rangle}+\beta{\left\vert{0}\right\rangle}) +{\left\vert{10}\right\rangle}(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}-\beta{\left\vert{1}\right\rangle}) +{\left\vert{11}\right\rangle}(\alpha{\left\vert{1}\right\rangle}-\beta{\left\vert{0}\right\rangle})\right)$

$=\frac{1}{2}\sum_{b_1b_2=0}^{1}{\left\vert{b_1 b_2}\right\rangle}(X^{b_2}Z^{b_1}){\left\vert{\psi}\right\rangle}$

Ahora Alicia hace la medición de sus dos qubits y obtiene uno de los cuatro b₁b₂ posibles. El sistema colapsa al estado

${\;{{Medida} \atop \longrightarrow}\;} (X^{b_2}Z^{b_1}) {\left\vert{\psi}\right\rangle}$

Alicia envía la información que obtiene en la medición ( $b 1 b 2$ ) a Bob, que sabrá cuál de los cuatro términos es realmente es el que tiene en su poder (estos términos varían en el signo de los sumandos o tienen los coeficientes intercambiados). Bob convertirá los signos negativos en positivos y reordenará los coeficientes aplicando $Z^{b_1}X^{b_2}$ , según la tabla de abajo, y así obtendrá el estado original ${\left\vert{\psi}\right\rangle}$ .

Bits recibidos	Compuerta a aplicar	Operación
00	I	$\alpha\|0\rangle+\beta \|1\rangle\rightarrow\alpha\|0\rangle+\beta \|1\rangle$
01	X	$\alpha\|0\rangle+\beta \|1\rangle\rightarrow\beta\|0\rangle+\alpha \|1\rangle$
10	Z	$\alpha\|0\rangle+\beta \|1\rangle\rightarrow\alpha\|0\rangle-\beta \|1\rangle$
11	ZX	$\alpha\|0\rangle+\beta \|1\rangle\rightarrow\beta\|0\rangle-\alpha \|1\rangle$

Donde $I$ es la matriz de identidad.

Véase también

Computación cuántica
Mecánica cuántica
Formulación matemática de la mecánica cuántica

Referencias

La versión original de este artículo ha sido extraída del siguiente texto con el permiso del autor: Notas de las Charlas Introductorias a la Computación Cuántica (Alejandro Díaz-Caro).
Michael A. Nielsen e Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, Reino Unido, 2000, ISBN:0-521-63503-9.

Categoría: Mecánica cuántica

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